martes, 25 de agosto de 2009

VECTOR EN EL PLANO

Álgebra lineal
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.
Contenido [ocultar]
1 Conceptos básicos
2 Contexto general
2.1 Espacio vectorial de polinomios
3 Generalización y temas relacionados
4 Véase también
5 Enlaces externos
Conceptos básicos [editar]



Representación gráfica de la suma de dos vectores en R2
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un vector de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones.
Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma el espacio vectorial .
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio y (6,-1,0,2,4) es un elemento de . En particular, corresponde a un plano cartesiano y es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
Para sumar dos vectores en , se suman las coordenadas en posiciones correspondientes:

Ejemplo: La suma de (3,-1, 5) con (2,4,0) es (3+2, -1+4, 5+0)=(5,3,5).
Esta operación puede interpretarse gráficamente como trasladar uno de los vectores sumados para que "inicie" al final del otro. Esta regla suele llamarse también regla del paralelogramo por la figura que aparece en el diagrama.
La segunda operación básica es el producto por un escalar, que en este ejemplo corresponde a multiplicar un número real (un escalar) por un vector, y está dado por la regla:

La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar) junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo).
Las funciones T entre los espacios vectoriales descritos de interés para el álgebra lineal son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes para todo par de vectores u,v y todo escalar r:

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a matrices de números reales.
Específicamente, las transformaciones lineales entre y son las matrices de tamaño .
Nota: En álgebra lineal suelen representarse los vectores en forma vertical en vez de horizontal, de modo que las transformaciones lineales correspondan a multiplicar matrices.

El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
Contexto general [editar]

De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).
Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:

A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).
Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos.
Cerraremos con un ejemplo diferente de espacio vectorial ilustrando todas estas ideas en un nuevo contexto.
Espacio vectorial de polinomios [editar]
Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
Ejemplos de tales polinomios son:

La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2:
(3x2 − 5x + 1) + (4x − 8) = 3x2 − x − 7
El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:

donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).
Una ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:
D(3x2 − 5x + 7) = 6x − 5.
El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:
D((4x2 + 5x − 3) + (x2 − x − 1)) = D(5x2 + 4x − 4) = 10x + 4
y por otro lado:
D(4x2 + 5x − 3) + D(x2 − x − 1) = (8x + 5) + (2x − 1) = 10x + 4.
Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a , lo cual se obtiene mediante la elección de una base (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.

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