EJEMPLOS DE CHI CUADRADO

jemplo:
Cual es la Distribución de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad de que x< 1,2
Buscando en la tabla la columna del 4 y la fila de 1,2, tenemos:

[editar]Para otros valores de x

En la tabla podemos encontrar directamente la probabilidad:, pero se pueden presentar otros casos, veamos algunos.
[editar]Para la variable mayor que x

Para calcular , partimos de la expresión:

La probabilidad de que la variable estadística sea menor que x más la probabilidad de que sea mayor que x es la certeza, de probabilidad 1.
Operando:

[editar]Ejemplo
Calcular la distribución de probabilidad de una variable estadística chi-cuadrado, de 12 grados de libertad sea mayor de 3,4.

según lo anterior:

buscando en la tabla tenemos:

con lo que tenemos:

operando tenemos:

que es la respuesta a la pregunta.
[editar]Para la variable mayor que x1 y menor que x2

Para calcular la probabilidad de que:

siendo:

tenemos que:

[editar]Ejemplo
Cual es la probabilidad de que una variable chi-cuadrado de 8 grados de libertad este comprendida entre 3,4 y 5,6.
Esto es:

según la tabla tenemos:

según lo anterior, tenemos que:

sustituyendo los valores:

operando:

Con lo que tenemos la respuesta.
[editar]Interpolación lineal.
La función chi-cuadrado es continua para x mayor que cero, pero en la tabla solo se recogen algunos de sus valores, si bien la tabla podría hacerse más extensa el numero de valores recogidos siempre seria finito, para calcular los valores no recogidos en la tabla podemos emplear la nterpolación lineal.

La interpolación lineal, parte de unos puntos conocidos de la función, y los valores intermedios los determina por la recta que une estos dos puntos, este método siempre añade un cierto error, al sustituir la función: y= f(x) por la recta que une dos puntos: y= r(x), que siempre será menor que tomar el valor conocido más próximo de la función, ver la figura, es importante que los puntos tomados estén lo más próximos entre sí, para que este error sea el mínimo posible.
La expresión:

determina el valor y de la función para un x dado, partiendo de dos puntos conocidos (x1,y1) y (x2,y2), siendo x1 < x < x2.
[editar]Ejemplo
Cual es la probabilidad de una distribución chi-cuadrado de 5 grados de libertad, de que x sea menor que 1,75.
Esto es:

el valor 1,75 no esta en la tabla, pero si tenemos que:

sustituyendo en la expresión:

tenemos que:

operando tenemos:

esto es:

que resulta:

que es el resultado buscado:

[editar]Tabla inversa de distribución chi-cuadrado

Otra forma de tabla de distribución chi-cuadrado, en la cual los valores de búsqueda son los grados de libertad y la probabilidad acumulada, dada la expresión


En este tipo de tablas se parte de los valoras conocidos k y p, y se obtiene x, de forma inversa a lo visto anteriormente, lo que resulta interesante pera responder a la pregunta:
Para una distribución chi-cuadrado de k grados de libertad, cual es el valor de x que deja a su izquierda una probabilidad p.
Este tipo de problema en la practica, suele ser más usual, la tabla es más compacta y también nos permite calcular la probabilidad con la tabla directa.
En la tabla tenemos en la fila superior las probabilidades P, en la columna de la izquierda los grados de libertad k, donde se cruzan la fila y la columna correspondientes el valor de x que en una función chi-cuadrado de k grados de libertad, deja a su izquierda una probabilidad P.
Tabla distribución chi-cuadrado, inversa.
k \ P 0,01 0,05 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,99
1 0,000 0,004 0,016 0,064 0,102 0,148 0,275 0,455 0,708 1,074 1,323 1,642 2,706 3,841 6,635
2 0,020 0,103 0,211 0,446 0,575 0,713 1,022 1,386 1,833 2,408 2,773 3,219 4,605 5,991 9,210
3 0,115 0,352 0,584 1,005 1,213 1,424 1,869 2,366 2,946 3,665 4,108 4,642 6,251 7,815 11,34
4 0,297 0,711 1,064 1,649 1,923 2,195 2,753 3,357 4,045 4,878 5,385 5,989 7,779 9,488 13,28
5 0,554 1,145 1,610 2,343 2,675 3,000 3,656 4,351 5,132 6,064 6,626 7,289 9,236 11,07 15,09
6 0,872 1,635 2,204 3,070 3,455 3,828 4,570 5,348 6,211 7,231 7,841 8,558 10,64 12,59 16,81
7 1,239 2,167 2,833 3,822 4,255 4,671 5,493 6,346 7,283 8,383 9,037 9,803 12,02 14,07 18,48
8 1,647 2,733 3,490 4,594 5,071 5,527 6,423 7,344 8,351 9,524 10,22 11,03 13,36 15,51 20,09
9 2,088 3,325 4,168 5,380 5,899 6,393 7,357 8,343 9,414 10,66 11,39 12,24 14,68 16,92 21,67
10 2,558 3,940 4,865 6,179 6,737 7,267 8,295 9,342 10,47 11,78 12,55 13,44 15,99 18,31 23,21
11 3,053 4,575 5,578 6,989 7,584 8,148 9,237 10,34 11,53 12,90 13,70 14,63 17,28 19,68 24,73
12 3,571 5,226 6,304 7,807 8,438 9,034 10,18 11,34 12,58 14,01 14,85 15,81 18,55 21,03 26,22
13 4,107 5,892 7,041 8,634 9,299 9,926 11,13 12,34 13,64 15,12 15,98 16,98 19,81 22,36 27,69
14 4,660 6,571 7,790 9,467 10,17 10,82 12,08 13,34 14,69 16,22 17,12 18,15 21,06 23,68 29,14
15 5,229 7,261 8,547 10,31 11,04 11,72 13,03 14,34 15,73 17,32 18,25 19,31 22,31 25,00 30,58
16 5,812 7,962 9,312 11,15 11,91 12,62 13,98 15,34 16,78 18,42 19,37 20,47 23,54 26,30 32,00
17 6,408 8,672 10,09 12,00 12,79 13,53 14,94 16,34 17,82 19,51 20,49 21,61 24,77 27,59 33,41
18 7,015 9,390 10,86 12,86 13,68 14,44 15,89 17,34 18,87 20,60 21,60 22,76 25,99 28,87 34,81
19 7,633 10,12 11,65 13,72 14,56 15,35 16,85 18,34 19,91 21,69 22,72 23,90 27,20 30,14 36,19
20 8,260 10,85 12,44 14,58 15,45 16,27 17,81 19,34 20,95 22,77 23,83 25,04 28,41 31,41 37,57
21 8,897 11,59 13,24 15,44 16,34 17,18 18,77 20,34 21,99 23,86 24,93 26,17 29,62 32,67 38,93
22 9,542 12,34 14,04 16,31 17,24 18,10 19,73 21,34 23,03 24,94 26,04 27,30 30,81 33,92 40,29
23 10,20 13,09 14,85 17,19 18,14 19,02 20,69 22,34 24,07 26,02 27,14 28,43 32,01 35,17 41,64
24 10,86 13,85 15,66 18,06 19,04 19,94 21,65 23,34 25,11 27,10 28,24 29,55 33,20 36,42 42,98
25 11,52 14,61 16,47 18,94 19,94 20,87 22,62 24,34 26,14 28,17 29,34 30,68 34,38 37,65 44,31
26 12,20 15,38 17,29 19,82 20,84 21,79 23,58 25,34 27,18 29,25 30,43 31,79 35,56 38,89 45,64
27 12,88 16,15 18,11 20,70 21,75 22,72 24,54 26,34 28,21 30,32 31,53 32,91 36,74 40,11 46,96
28 13,56 16,93 18,94 21,59 22,66 23,65 25,51 27,34 29,25 31,39 32,62 34,03 37,92 41,34 48,28
29 14,26 17,71 19,77 22,48 23,57 24,58 26,48 28,34 30,28 32,46 33,71 35,14 39,09 42,56 49,59
30 14,95 18,49 20,60 23,36 24,48 25,51 27,44 29,34 31,32 33,53 34,80 36,25 40,26 43,77 50,89
31 15,66 19,28 21,43 24,26 25,39 26,44 28,41 30,34 32,35 34,60 35,89 37,36 41,42 44,99 52,19
32 16,36 20,07 22,27 25,15 26,30 27,37 29,38 31,34 33,38 35,66 36,97 38,47 42,58 46,19 53,49
33 17,07 20,87 23,11 26,04 27,22 28,31 30,34 32,34 34,41 36,73 38,06 39,57 43,75 47,40 54,78
34 17,79 21,66 23,95 26,94 28,14 29,24 31,31 33,34 35,44 37,80 39,14 40,68 44,90 48,60 56,06
35 18,51 22,47 24,80 27,84 29,05 30,18 32,28 34,34 36,47 38,86 40,22 41,78 46,06 49,80 57,34
36 19,23 23,27 25,64 28,73 29,97 31,12 33,25 35,34 37,50 39,92 41,30 42,88 47,21 51,00 58,62
37 19,96 24,07 26,49 29,64 30,89 32,05 34,22 36,34 38,53 40,98 42,38 43,98 48,36 52,19 59,89
38 20,69 24,88 27,34 30,54 31,81 32,99 35,19 37,34 39,56 42,05 43,46 45,08 49,51 53,38 61,16
39 21,43 25,70 28,20 31,44 32,74 33,93 36,16 38,34 40,59 43,11 44,54 46,17 50,66 54,57 62,43
40 22,16 26,51 29,05 32,34 33,66 34,87 37,13 39,34 41,62 44,16 45,62 47,27 51,81 55,76 63,69
41 22,91 27,33 29,91 33,25 34,58 35,81 38,11 40,34 42,65 45,22 46,69 48,36 52,95 56,94 64,95
42 23,65 28,14 30,77 34,16 35,51 36,75 39,08 41,34 43,68 46,28 47,77 49,46 54,09 58,12 66,21
43 24,40 28,96 31,63 35,07 36,44 37,70 40,05 42,34 44,71 47,34 48,84 50,55 55,23 59,30 67,46
44 25,15 29,79 32,49 35,97 37,36 38,64 41,02 43,34 45,73 48,40 49,91 51,64 56,37 60,48 68,71
45 25,90 30,61 33,35 36,88 38,29 39,58 42,00 44,34 46,76 49,45 50,98 52,73 57,51 61,66 69,96
46 26,66 31,44 34,22 37,80 39,22 40,53 42,97 45,34 47,79 50,51 52,06 53,82 58,64 62,83 71,20
47 27,42 32,27 35,08 38,71 40,15 41,47 43,94 46,34 48,81 51,56 53,13 54,91 59,77 64,00 72,44
48 28,18 33,10 35,95 39,62 41,08 42,42 44,92 47,34 49,84 52,62 54,20 55,99 60,91 65,17 73,68
49 28,94 33,93 36,82 40,53 42,01 43,37 45,89 48,33 50,87 53,67 55,27 57,08 62,04 66,34 74,92
50 29,71 34,76 37,69 41,45 42,94 44,31 46,86 49,33 51,89 54,72 56,33 58,16 63,17 67,50 76,15
51 30,48 35,60 38,56 42,36 43,87 45,26 47,84 50,33 52,92 55,78 57,40 59,25 64,30 68,67 77,39
52 31,25 36,44 39,43 43,28 44,81 46,21 48,81 51,33 53,94 56,83 58,47 60,33 65,42 69,83 78,62
53 32,02 37,28 40,31 44,20 45,74 47,16 49,79 52,33 54,97 57,88 59,53 61,41 66,55 70,99 79,84
54 32,79 38,12 41,18 45,12 46,68 48,11 50,76 53,33 55,99 58,93 60,60 62,50 67,67 72,15 81,07
55 33,57 38,96 42,06 46,04 47,61 49,06 51,74 54,33 57,02 59,98 61,67 63,58 68,80 73,31 82,29
56 34,35 39,80 42,94 46,96 48,55 50,01 52,71 55,33 58,04 61,03 62,73 64,66 69,92 74,47 83,51
57 35,13 40,65 43,82 47,88 49,48 50,96 53,69 56,33 59,06 62,08 63,79 65,74 71,04 75,62 84,73
58 35,91 41,49 44,70 48,80 50,42 51,91 54,67 57,33 60,09 63,13 64,86 66,82 72,16 76,78 85,95
59 36,70 42,34 45,58 49,72 51,36 52,86 55,64 58,33 61,11 64,18 65,92 67,89 73,28 77,93 87,17
60 37,48 43,19 46,46 50,64 52,29 53,81 56,62 59,33 62,13 65,23 66,98 68,97 74,40 79,08 88,38
70 45,44 51,74 55,33 59,90 61,70 63,35 66,40 69,33 72,36 75,69 77,58 79,71 85,53 90,53 100,4
80 53,54 60,39 64,28 69,21 71,14 72,92 76,19 79,33 82,57 86,12 88,13 90,41 96,58 101,9 112,3
90 61,75 69,13 73,29 78,56 80,62 82,51 85,99 89,33 92,76 96,52 98,65 101,1 107,6 113,1 124,1
100 70,06 77,93 82,36 87,95 90,13 92,13 95,81 99,33 102,9 106,9 109,1 111,7 118,5 124,3 135,8
110 78,46 86,79 91,47 97,36 99,67 101,8 105,6 109,3 113,1 117,3 119,6 122,2 129,4 135,5 147,4
120 86,92 95,70 100,6 106,8 109,2 111,4 115,5 119,3 123,3 127,6 130,1 132,8 140,2 146,6 159,0
130 95,45 104,7 109,8 116,3 118,8 121,1 125,3 129,3 133,4 137,9 140,5 143,3 151,0 157,6 170,4
140 104,0 113,7 119,0 125,8 128,4 130,8 135,1 139,3 143,6 148,3 150,9 153,9 161,8 168,6 181,8
150 112,7 122,7 128,3 135,3 138,0 140,5 145,0 149,3 153,8 158,6 161,3 164,3 172,6 179,6 193,2
160 121,3 131,8 137,5 144,8 147,6 150,2 154,9 159,3 163,9 168,9 171,7 174,8 183,3 190,5 204,5
170 130,1 140,8 146,8 154,3 157,2 159,9 164,7 169,3 174,0 179,2 182,0 185,3 194,0 201,4 215,8
180 138,8 150,0 156,2 163,9 166,9 169,6 174,6 179,3 184,2 189,4 192,4 195,7 204,7 212,3 227,1
190 147,6 159,1 165,5 173,4 176,5 179,3 184,4 189,3 194,3 199,7 202,8 206,2 215,4 223,2 238,3
200 156,4 168,3 174,8 183,0 186,2 189,0 194,3 199,3 204,4 210,0 213,1 216,6 226,0 234,0 249,4
ejemplo
Cual es el valor de x, de una distribución chi-cuadrado de 6 grados de libertad, que deja a su izquierda una probabilidad del 80%

Consultando la tabla tenemos que:

[editar]Calculo de la probabilidad con la tabla inversa.
empleando esta tabla podemos realizar cálculos directos como en la anterior, normalmente será necesaria recurrir a la interpolación lineal para obtener los resultados
[editar]Ejemplo
¿Cuál es la distribución de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad de que x < 1,2 ?
este es el mismo ejemplo que en la tabla directa, veamos como se haría en este caso:
la pregunta es:

este valor no figura en la tabla pero si tenemos en la fila de k= 4, que:

por la expresión de interpolación lineal:

sustituyendo los valores de este caso:

operando:

esto es:

que da como resultado:

esto es:

como se puede ver hay una diferencia del orden de la tercera cifra decimal, respecto a la búsqueda directa en la tabla, esta diferencia se produce por la interpolación lineal, al sustituir la función por la recta que une dos puntos conocidos, y a la relativamente gran diferencia entre x1 y x2, que es el 60% al valor de x1.
[editar]Para valores de k grandes


cuando el valor de k es suficientemente grande se tiene en cuenta que:

Con lo que podemos aproximar la distribución Chi-cuadrado por la distribución normal, de media k y desviación típica raíz de 2k, empleando la tabla distribución normal tipificada para su calculo.
Categoría: Estadística